Sommaire

1. Introduction

L'expérience indique que l'étude abstraite des structures algébriques peut se révéler fascinante ou épuisante selon la personnalité de chacun. Un inconvénient, peut-être inévitable, de cette étude est qu'il est difficile de mettre immédiatement en relief l'utilité des résultats démontrés ; il faut passer un certain temps dans la théorie, puis de nouveau un certain temps dans des chapitres plus concrets où les résultats accumulés seront recyclés.

Tentons cependant de rassurer le lecteur grâce à la constatation suivante (à moins que cette constatation ne l'effraie encore plus) : une bonne part des résultats énoncés sur les groupes finis (concept d'ordre, théorème de Lagrange, etc.) aura l'occasion d'être mise en application dès le chapitre d'arithmétique. En effet, une première utilité de la théorie des groupes est de formaliser et systématiser les calculs usuels qu'on sait pratiquer sur les ensembles de nombres.

L'autre point de vue sur lequel on peut insister est celui des groupes formés de bijections, mais malheureusement on aura peu l'occasion de les voir vraiment appliqués dans la suite de ce cours de première année. En revanche, on peut affirmer que des connaissances sur les groupes de permutations (groupes de bijections des ensembles finis) sont bien utiles de ci de là, en informatique par exemple. Et de toutes façons l'investissement sera rentabilisé dès que le lecteur apprendra plus de géométrie, ce qui reste un cadre idéal d'usage des groupes de transformations.

2. Relations

Vous avez déjà rencontré cette notion dans votre cursus ; rappelons qu'intuitivement, une relation sur un ensemble   est la description de liens entre certains éléments de   . Donnons des exemples avant même la définition.

Exemple 1    1) La relation «est inférieur ou égal à» sur l'ensemble   des réels : pour deux réels   et   , on peut avoir   ou non.

2) La relation «est inclus dans» sur l'ensemble des parties d'un ensemble : pour deux parties   et   , on peut avoir   ou   ou aucun des deux.

3) La relation «a le même cardinal que» sur l'ensemble des parties d'un ensemble fini.

4) Plus exotique : la relation «coïncide en au moins un point avec» pour des fonctions définies sur un même ensemble.

Définition    Le graphe d'une relation   sur un ensemble   est l'ensemble des couples   de   tels que   .

Sermon

Attention à bien lire cette définition, qui, comme toutes ses consœurs de la suite de ce cours, peut être mal retenue par de jeunes âmes peu scrupuleuses mathématiquement parlant. Il est facile de retenir que le graphe de   a un rapport avec   . Mais soulignons que le graphe est un ensemble.

Profitons en pour signaler dès l'abord que les divers objets qui sont définis dans ce cours entrent dans un petit nombre de catégories : souvent des ensembles, assez souvent des applications, souvent des   -uplets (qui ne sont rien d'autres que des applications particulières, sauriez-vous préciser pourquoi ?), souvent aussi des nombres (entiers, réels ou autres), plus rarement des relations, etc. Il n'est pas difficile de savoir dans quelle catégorie ranger les graphes : ce ne sont manifestement pas des triplets, ni des nombres complexes ! Le plus important est de ne pas oublier de les ranger quelque part. Savoir à quelle catégorie appartient un objet permet d'éviter les bourdes les plus monumentales : ainsi, le symbole   aura un sens entre deux ensembles, pas entre deux réels, et réciproquement pour le symbole   . On profitera du fait que la première phrase de cette section contient les mots «élément» et «ensemble» pour vérifier qu'on ne confond pas les deux.

C'était la fin de notre sermon d'aujourd'hui.

Voici maintenant quatre définitions rébarbatives, mais incontournables.

Définition    Soit   un ensemble et   une relation sur   .

1) La relation   est  réflexive lorsque pour tout élément   de   ,   .

2) La relation   est  symétrique lorsque pour tous éléments   et   de   , si   , alors   .

3) La relation   est  transitive lorsque pour tous éléments   ,   et   de   , si   et si   , alors   .

4) La relation   est  anti-symétrique lorsque pour tous éléments   et   de   , si   et si   , alors   .

Quelques commentaires sur la dernière condition, qui est sans doute la plus difficile à bien mémoriser des quatre : c'est, comme son nom l'indique, en gros le contraire de la propriété de symétrie. La symétrie exige que quand deux éléments sont liés dans un sens, ils le sont aussi dans l'autre. L'anti-symétrie, c'est approximativement demander que si deux éléments sont liés dans un sens, ils ne le sont pas dans l'autre. Mais cette condition empêcherait un élément d'être lié à lui-même, ce qui ne serait pas désespérant en soi mais ne serait pas conforme à l'usage. De fait, l'usage s'est fait de compliquer la définition afin de garder la permission pour un élément d'être lié à lui-même.

On comprendra peut-être un peu mieux la définition en écrivant la contraposée de l'implication qu'elle contient.

Autre formulation de la définition de l'anti-symétrie  Une relation   sur un ensemble   est anti-symétrique lorsque pour tous éléments   et   distincts de   , on ne peut avoir simultanément   et   .

Comme nous sommes encore débutants, faisons l'effort d'expliciter une autre façon de présenter la même notion.

Autre formulation de la définition de l'anti-symétrie  Une relation   sur un ensemble   est anti-symétrique lorsque pour tous éléments   et   distincts de   ,   est faux ou   est faux.

Bien évidemment, ce genre de liste de formulations équivalentes n'est surtout pas à «savoir par cœur». Ce qui est par contre indispensable, c'est de se familariser avec les petites manipulations qui permettent de passer de l'une à l'autre, selon les besoins.

En pratique, les relations qui pourront nous intéresser dans ce cours ne seront jamais bien compliquées ; le vocabulaire que nous avons dû ingurgiter depuis le début de ce chapitre n'a d'utilité que pour savoir reconnaître deux types très particuliers de relations : les relations d'ordre, auxquelles cette section est consacrée, puis, dans la section prochaine, les relations d'équivalence.

Définition    Une relation est une relation d'ordre lorsqu'elle est simultanément réflexive, transitive et anti-symétrique.

Considérons par exemple la relation «divise»sur l'ensemble   . C'est une relation d'ordre ; son graphe est visualisé par des flèches sur la figure 1.

Intuitivement, une relation d'ordre est une relation qui peut raisonnablement être appelée «est supérieur ou égal à» ou, bien sûr, «est inférieur ou égal à».

Exemple    La relation «   » sur   est une relation d'ordre. Pour tout ensemble   fixé, la relation «   » sur   est une relation d'ordre. La seconde est sans doute plus compliquée à maîtriser que la première dans la mesure où deux parties de   ne sont pas forcément comparables l'une à l'autre.

Le morceau est plus sérieux pour les relations d'équivalence que pour les relations d'ordre, car on ne va pas se contenter de donner une définition, mais on va aussi voir le lien avec un autre concept. Pour expliquer intuitivement ce qui va suivre, une relation d'équivalence est une relation qui peut raisonnablement s'appeler «est de la même catégorie que» et une partition est une répartition en catégories.

Définition    Une relation est une relation d'équivalence lorsqu'elle est simultanément réflexive, symétrique et transitive.

Exemple    L'égalité sur n'importe quel ensemble   fixé. La relation «a même parité que» sur l'ensemble   des entiers naturels. La relation «est confondue avec ou parallèle à» sur l'ensemble des droites d'un plan affine.

Avalons encore trois définitions de plus en plus indigestes mais ce n'est pas gratuit, les concepts serviront plus loin, notamment en arithmétique.

Définition    Soit   une relation d'équivalence sur un ensemble   , et soit   un élément de   . On appelle classe d'équivalence de   modulo   l'ensemble  

Avec des mots, la classe d'équivalence de   est l'ensemble formé des éléments de la même catégorie que   .

Notation    On note   la classe d'équivalence d'un élément   de   pour la relation d'équivalence   .

On abrège souvent   en   . Une autre notation pour la classe d'équivalence de   est å mais nous l'utiliserons rarement dans ce cours. Par contre, nous désignerons souvent les relations d'équivalence par le signe   .

Sans commentaires, car il y en aura plus loin, un objet plus étrange :

Définition    Soit   une relation d'équivalence sur un ensemble   . On appelle

ensemble-quotient de   par la relation   l'ensemble :  

Attention tout de même ! Comme   est une partie (et non un élément) de   , l'ensemble-quotient est un ensemble de parties de   . Ce n'est pas une partie de   mais une partie de   . Ce n'est pas si compliqué, mais il ne faut pas s'y perdre.

Notation    L'ensemble-quotient de   par   est noté   .

On remarquera qu'en général, chaque élément   de l'ensemble quotient   peut s'écrire comme   pour de nombreux éléments   différents de   : très précisément,   s'écrit   pour un élément   de   tel que   , et aussi   pour tous les éléments   de   tels que   .

Définition   Une partition d'un ensemble   est un ensemble   de parties de   vérifiant les trois propriétés suivantes :

(i) L'ensemble vide n'est pas un élément de   .

(ii) Deux éléments distincts de   sont disjoints.

(iii) Tout élément de   appartient à un élément de   .

C'est dur à avaler parce qu'on rentre inévitablement dans le monde des ensembles dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles. Les éléments de   sont des parties de   et doivent donc être pensés comme des groupes d'éléments de   vérifiant une condition commune. Et   : une partition de   est une partie de l'ensemble des parties de   (ouf !).

Exemple    En notant   l'ensemble des entiers impairs et   l'ensemble des entiers pairs,   est une partition de   .

Tentons maintenant de commenter les conditions de la définition defparti. La condition (i) est sans grand intérêt et juste là pour que les énoncés marchent bien. La condition (ii) nous assure qu'on n'a inscrit aucun élément de   dans deux catégories à la fois. La condition (iii) signifie qu'on n'a oublié d'inscrire personne : tout élément de   est dans un groupe.

On remarquera qu'on peut regrouper les deux conditions significatives, ce qui donne l'énoncé suivant.

Autre formulation de la définition d'une partition  Une partition d'un ensemble   est un ensemble   de parties de   vérifiant les deux propriétés (i) et (iv) ci-dessous :

(i) L'ensemble vide n'est pas un élément de   .

(iv) Tout élément de   appartient à un et un seul élément de   .

Bien évidemment là encore il n'est pas question d'apprendre par cœur ce genre de reformulation. Il faut se convaincre, et ici ce n'est peut-être pas facile, qu'elle est bien équivalente à la précédente.

Et voici maintenant la synthèse finale, qui expliquera ce qu'est un ensemble-quotient à ceux qui ont compris ce qu'est une partition, et expliquera ce qu'est une partition à ceux qui ont compris ce qu'est un ensemble-quotient (figure 2).

Proposition    Soit   une relation d'équivalence sur un ensemble   . L'ensemble-quotient   est une partition de   .

Complément Toute partition de   peut s'obtenir ainsi comme quotient par une relation d'équivalence de   et cette relation d'équivalence est unique.

La preuve du complément est laissée au lecteur.

Démonstration : Vérifions successivement les trois propriétés définissant une partition.

Vérifions successivement les trois propriétés définissant une partition.

Vérification de (i) : Soit   un élément de   . Par définition de   , il existe un élément   de   tel que   . Comme   est réflexive,   , donc   appartient à   . Ainsi   n'est pas réduit à l'ensemble vide.

Vérification de (ii) : Soient   et   deux éléments de   . On peut trouver des éléments   et   de   tels que   et   . On doit montrer que si   et   sont distincts, ils sont alors disjoints, et on va procéder par contraposition, c'est-à-dire en montrant que si   et   ne sont pas disjoints, ils sont égaux.

Supposons donc   et   non disjoints. L'objectif est de prouver que   , on va montrer successivement les inclusions   et   .

Par l'hypothèse qu'on vient de faire, on peut prendre un élément   de   qui appartient simultanément à   et à   .

Première inclusion : Montrons tout d'abord que   . Pour ce faire, prenons un   quelconque et prouvons que   .

Comme   , par définition d'une classe d'équivalence, on obtient   . Comme   , on obtient de même   , puis, grâce à la symétrie de   , on obtient   . Comme   , on obtient enfin   . En mettant bout à bout les trois informations ainsi obtenues (   ,   et   ) et en jouant deux fois sur la transitivité de   , on obtient alors que   , c'est-à-dire que   .

Ceci prouve bien que   .

Deuxième inclusion : L'astuce est ici classique, elle consiste à remarquer que nos hypothèses (à savoir que   et   sont des classes d'équivalence, et qu'elles ne sont pas disjointes) sont symétriques en   et   . Dès lors, en échangeant   et   dans le morceau précédent de la preuve, on obtient bien l'inclusion   .

Par double inclusion, on a donc   .

Finalement, on a montré que si   , alors   . La propriété (ii) est prouvée. Ouf, c'était le plus gros morceau !

Vérification de (iii) : Soit   un élément de   . Comme   est réflexive,   appartient à   , et de ce fait on a bien trouvé un élément de   dont   est lui-même élément.

C'est fini !

3. Lois de composition et morphismes

Définition    On appelle loi de composition sur un ensemble   une application de   vers   .

En fait, bien que cette définition soit générale, on n'aurait pas l'idée d'appeler «loi de composition» n'importe quelle application de   vers   ; le vocable n'est utilisé que quand il est naturel de noter l'application par un symbole opératoire. Des exemples typiques de lois de composition sont l'addition   de   vers   , qui associe   à   ; ou bien la loi de composition   sur l'ensemble   des applications de   vers   , qui associe l'application   au couple d'applications   . Pour des lois de composition abstraites, le symbole opératoire   a été à la mode et nous l'utiliserons occasionnellement, surtout au début, mais nous nous contenterons rapidement de la notation multiplicative   , ou même simplement   , pour l'élément obtenu en appliquant la loi de composition à   .

Voici un peu de vocabulaire au sujet des lois de composition.

Définition    Soit   une loi de composition sur un ensemble   .

On dit que   est commutative lorsque pour tous éléments   et   de   ,  

On dit que   est associative lorsque pour tous éléments   ,   et   de   ,  

On dit qu'un élément   de   est élément neutre pour   lorsque pour tout élément   de   ,  

La cohérence de ce qui suit nécessite d'énoncer tout de suite un résultat simplissime.

Proposition    Une loi de composition possède au plus un élément neutre.

Soit   et   deux éléments neutres pour une loi de composition   . Comme   est neutre,   et comme   est neutre,   . Donc   .

On parlera donc de l'élément neutre avec l'article défini, lorsqu'il existe un élément neutre.

Définition    Soit   une loi de composition sur un ensemble   admettant un élément neutre noté   et soit   un élément de   . On dit qu'un élément   de   est symétrique (ou inverse) de   lorsque  

Là encore, glissons sans tarder une évidence.

Proposition    Soit   une loi de composition sur un ensemble   , associative et possédant un élément neutre. Chaque élément possède au plus un symétrique.

Soit   le neutre de   , soit   un élément de   et soient   et   deux symétriques de   . Alors d'une part   et d'autre part   . Par associativité de la loi de composition,   , d'où   .

Les lois de composition intéressantes étant en pratique associatives, on pourra donc faire plein usage de la notation suivante.

Notation    Le symétrique d'un élément   est noté   .

Maintenant que nous savons manipuler une loi de composition sur un seul ensemble, apprenons à évoluer d'un ensemble muni d'une loi de composition vers un autre.

Définition    Soit   un ensemble muni d'une loi de composition   et   un ensemble muni d'une loi de composition   . On dit qu'une application   est un morphisme lorsque pour tous éléments   et   de   , on a l'identité :  

Définition    Un morphisme bijectif est appelé un isomorphisme.

Il semble plus facile d'expliquer la notion d'isomorphisme que celle de morphisme en général ; deux lois de composition sur deux ensembles fourniront des structures isomorphes lorsque ces deux lois de composition agissent de la même façon, seuls les noms des éléments changeant. La phrase précédente n'étant peut-être pas si claire que cela, donnons plutôt des exemples, c'est toujours bien les exemples.

Exemple    Considérons tout d'abord la bijection   de l'ensemble   définie par   Avec à peine un peu de bon sens (tout mathématicien pense très vite à   comme «faisant tourner» les quatre éléments de   ), on voit sans guère de calculs que   est la bijection   de   définie par   puis que   est la bijection   de   définie par   et enfin que   est tout simplement l'identité de   , que l'on note désormais   .

Pour abréger les calculs qui suivent, introduisons une notation.

Notation    Pour tout élément   d'un ensemble   muni d'une loi de composition   et pour tout entier   , notons   la composition de   avec lui-même   fois. Ainsi,   puis, pour tout   ,   . Si la loi de composition   est munie d'un neutre   , on notera aussi   . Enfin, on abrège souvent   en   .

En utilisant cette notation, on peut très facilement calculer tous les produits deux à deux des bijections introduites ici ; par exemple   .

On considère alors l'ensemble   et on voit que   est une loi de composition sur ce sous-ensemble de   , qui sera agréablement décrite par le tableau suivant, que l'on appelle une table de composition.

Considérons à présent l'ensemble des nombres complexes dont la puissance quatrième vaut   , c'est-à-dire l'ensemble   . Il est très facile de constater que la multiplication des nombres complexes définit une loi de composition sur   , dont la table est donnée ci-dessous.

Visuellement, on retrouve la même table, seuls les noms des éléments ont changé. C'est signe qu'il y a un isomorphisme camouflé. On le détectera facilement ; c'est bien sûr l'application   de   vers   définie par :  

Exemple    Soit   l'ensemble des rotations de centre   dans le plan, et soit   le cercle-unité de   , c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes de module 1. Les lois de composition respectivement envisagées sur   et sur   sont la composition des applications et la multiplication. On définit une application   en envoyant la rotation d'angle   sur le nombre   .

Il faut tout d'abord se soucier de vérifier que cette définition n'est pas ambiguë, car elle n'est pas loin de l'être ! Une rotation peut en effet être caractérisée par plusieurs angles (tourner d'un quart de tour dans le sens trigonométrique, c'est aussi tourner de trois quarts de tour dans le sens des aiguilles d'une montre), mais deux angles distincts   et   correspondant à la même bijection diffèrent d'un multiple entier de   ; il existe donc un entier   tel que   . Les valeurs   et   sont donc égales, et l'application   est bien définie.

Une fois cette mise au point effectuée, vérifier que   est un morphisme est sans problème : si   est la rotation d'angle   et   la rotation d'angle   , la composée   est la rotation   d'angle   , et on a donc :   Montrer que   est bijective n'est pas difficile ; on en conclut que   est un isomorphisme, en d'autres termes que l'étude des nombres complexes de module 1 nous instruira sur le fonctionnement des rotations.

Exemple    Voici enfin un morphisme qui n'est pas un isomorphisme et qui est pourtant une simple variante du précédent. Considérons l'application   de   (muni de l'addition) vers   (le même qu'à l'exemple précédent, muni de la multiplication) définie par   . On voit facilement que   est un morphisme, mais comme, par exemple,   ,   n'est pas une bijection donc pas un isomorphisme.

À l'évidence (et c'est sans doute ce que vous fîtes au lycée), on peut voir   comme l'application qui «enroule» de façon régulière une corde (la droite   ) sur une roue (le cercle   ), encore et encore.

4. Groupes

Définition    Soit   un ensemble muni d'une loi de composition   . On dit que   est un groupe lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées :

(i) La loi de composition   est associative.

(ii) La loi de composition   possède un élément neutre.

(iii) Tout élément de   possède un symétrique pour   .

Définition    Un groupe   est dit abélien (ou commutatif) lorsque sa loi de composition est commutative.

Avant de donner des exemples, quelques remarques d'ordre purement calculatoire sur les groupes. Comme promis plus haut, on utilise désormais la notation multiplicative, donc   désigne le composé des éléments   et   d'un groupe   .

Proposition    Soit   un groupe. Alors pour tous éléments   ,   et   de   :

1) Si   , alors   .

2) Si   , alors   .

3) Le symétrique de   est   .

Démonstration : Il n'y a que des vérifications simples et basées sur l'associativité ; pour (1), si on suppose   , en multipliant à droite par   on obtient   et donc   , c'est-à-dire   . On prouve (2) de la même façon en multipliant à gauche par   . La preuve du (3) se réduit à deux calculs élémentaires :   et   ce qui conclut la démonstration.

Remarque Au fait, pourquoi faut-il effectuer les deux calculs élémentaires ci-dessus ? Un seul ne suffirait-il pas ? La réponse est non ; on rappelle que   est le symétrique de   si   et aussi   valent   .

Maintenant que l'on sait calculer dans les groupes, il est temps de donner les exemples les plus élémentaires : regardons les lois de composition que nous connaissons le mieux, elles concernent les ensembles de nombres usuels.

Additions : elles sont associatives, ont un élément neutre noté   . Dans   , le symétrique peut faire défaut ; ainsi   n'a pas d'opposé. Dans   (puis dans les ensembles usuels bien connus), l'opposé existe. Ainsi   est un groupe pour l'addition.

Multiplication :   n'a jamais d'inverse, donc les ensembles de nombres bien connus ne sont jamais des groupes pour la multiplication. En revanche, si on considère le sous-ensemble formé des éléments non nuls, la multiplication y est bien définie, elle est associative et elle possède un élément neutre noté   . Le point à problème est l'existence du symétrique (de l'inverse en notation multiplicative). Dans   , il fait défaut à la plupart des éléments, ainsi   n'a pas d'inverse ;   n'est donc pas un groupe. En revanche, dans   (l'ensemble des fractions non nulles) ou   ou   , l'existence de l'inverse ne pose pas de problème. Tous ces ensembles sont donc des groupes multiplicatifs.

Encore quelques propriétés de bon sens, mais qu'il ne coûte rien d'énoncer. Elles paraissent évidentes si on comprend qu'un morphisme est moralement une application qui transporte la structure ; si elle transporte la loi de composition, elle doit aussi transporter ses caractéristiques, telles que l'élément neutre et le symétrique.

Proposition    Soit   un morphisme d'un groupe   , d'élément neutre   , vers un groupe   , d'élément neutre   .

Alors   et, pour tout élément   de   ,   .

Essentiellement de la simple vérification ; pour le neutre, il s'agit d'une (petite) astuce : on calcule   puis on simplifie par   . Pour l'inverse, on fait un calcul très simple :   et simultanément,   . Ceci montre bien que   est l'inverse de   .

5. Exemples fondamentaux de groupes finis

Cette partie est consacrée à deux exemples fondamentaux de classes de groupes finis. La première classe est composée de groupes abéliens, la seconde de groupes non abéliens sauf dans des cas dégénérés.

Définition    Pour tout entier   , appelons   le groupe   muni de la loi de composition, notée   , définie comme suit. Si les éléments   et   de   sont tels que   , on pose   . Sinon,   et on pose   .

Proposition    Pour tout   ,   est un groupe abélien de neutre   .

Le seul point notable est que l'inverse de   vaut   et celui d'un élément   vaut   .

On verra plus tard une présentation plus intrinsèque des groupes   comme quotients du groupe   muni de l'addition. Profitons tout de même du moment pour introduire une définition.

Définition    Soit   un groupe de loi de composition   et de neutre   et soit   un élément de   . L'ordre de   est le plus petit entier   , s'il existe, tel que   . Sinon on dit que l'ordre de   est infini.

Bien sûr, l'ordre du neutre vaut toujours   et l'ordre de tout élément d'un groupe fini de cardinal fini   est fini et inférieur ou égal à   . Nous verrons bientôt que c'est forcément un diviseur de   .

Outre les groupes   , les groupes les plus directement utilisables sont sans doute ceux qui interviennent en géométrie. Ce sont des groupes de transformations «respectant»  telle ou telle propriété  ; ainsi les isométries, qui conservent les distances, ou les similitudes, qui conservent les angles. Et ils constituent notre deuxième classe d'exemples.

Tous ces groupes ont le point commun d'avoir pour loi de composition   , la composition des applications, et d'être formés de bijections.

Fondamentale (quoique très facile) sera donc l'affirmation suivante.

Proposition    Soit   un ensemble. L'ensemble des bijections de   dans lui-même forme un groupe pour la composition.

Tout est très simple. On vérifie que, pour toute bijection   de   , la bijection réciproque est un symétrique de   ; que la composée de deux bijections est une bijection, par exemple parce que   se révèle un inverse de   ; que la composition est associative ; et enfin que   est son neutre. On a déjà fini !

Notation    Soit   un ensemble. L'ensemble des bijections de   dans lui-même est noté   .

On utilise souvent (au moins en mathématiques, en informatique et en analyse du génome) le cas particulier du groupe des bijections d'un ensemble fini. L'archétype d'un tel ensemble fini étant   , cela justifie d'introduire une toute spéciale notation.

Notation    Pour tout entier   , on note   . L'ensemble des bijections de   s'appelle le groupe des permutations sur   éléments. On le note   .

Tentons de découvrir comment fonctionne le groupe des permutations   pour   pas trop gros ; il vaut même mieux prendre   franchement petit, car   possédant   éléments, on serait vite débordé.

Pour   , le groupe n'a qu'un élément ; sa table est vite tracée.

Pour   , il y a deux bijections de   : celle qui échange les deux éléments, qu'on notera   , et l'identité.

La table du groupe est donc la suivante.

À partir de   , les calculs complets seraient nettement plus fastidieux. On va en profiter pour introduire des notations et énumérer les ensembles   .

Notation   On dispose de plusieurs notations pour désigner une permutation   élément de   . La première est

que l'on abrège parfois en  

Définition   Une orbite d'une permutation   élément de   est une partie  

On peut expliciter la structure des orbites comme suit.

Proposition    Pour toute permutation   et tout élément   de   , il existe un entier   tel que   . Le plus petit entier   qui vérifie cette propriété est le cardinal de l'orbite de   et s'appelle la taille de l'orbite de   .

Définition    Un cycle   est un élément de   qui possède exactement une orbite de longueur différente de   .

Pour tout cycle   de longueur   , il existe donc une partie   de cardinal   telle que   pour tout élément   de   . De plus, on peut numéroter les éléments de   comme suit :  

Notation   On désigne le cycle   de longueur   ci-dessus par l'écriture  

Avertissement On aura remarqué que la notation n.cyc est affreusement proche de l'écriture abrégée d'une permutation quelconque donnée dans la notation n.perm, la seule différence portant sur la présence ou l'absence de virgules.

Bien sûr, si le nombre d'entiers figurant dans l'écriture de   est différent de   , on désigne forcément le cycle. Dans le cas contraire, on veillera à ne pas confondre   puisque   est un cycle de longueur   et   est la permutation identité.

Enfin, remarquons qu'un cycle dispose de plusieurs écritures différentes, par exemple   Fin de l'avertissement.

Il est à présent facile d'énumérer les éléments de   : outre l'identité, que l'on va noter   , il y en a trois d'apparence identique : l'un, que je noterai   , échange   et   en laissant   fixe ; un autre, que je me garderai astucieusement de noter, échange   et   en laissant   fixe ; le dernier échange   et   en laissant   fixe. Enfin deux autres jouent aussi des rôles voisins : l'un, que je noterai   , fait «tourner» les trois éléments de   en envoyant   sur   ,   sur   , et   sur   ; l'autre, dont je remarquerai que c'est le carré de   , les fait «tourner» dans l'autre sens. Ainsi,

On va remplir la table du groupe par ajouts successifs d'information. L'information la plus récente sera systématiquement portée en gras.

Au point où nous en sommes, il est facile de commencer en remarquant que   tandis que   , comme on l'a déjà dit, est distinct de   . En outre les trois autres éléments ont un carré égal à   .

C'est le bon moment pour glisser une remarque importante : dans la table de composition d'un groupe on trouve chaque élément du groupe une fois et une seule dans chaque ligne, et dans chaque colonne. Sauriez-vous le démontrer ? Sinon, cher lecteur, nous vous conseillons d'arrêter votre lecture et de chercher une démonstration.

Le produit   ne peut être présent deux fois dans la colonne   , ni deux fois dans la ligne   . Il est donc distinct des éléments qui y figurent déjà, c'est-à-dire de   , de   , de   et de   . C'est donc un cinquième élément, qu'on peut alors faire figurer dans la cinquième ligne et la cinquième colonne du tableau. On calcule au passage sans mal   , et   .

Puis à son tour,   ne peut déjà figurer dans la ligne   ni dans la colonne   : c'est donc le sixième élément. On peut l'ajouter au tableau en complétant par quelques calculs évidents.

En utilisant toujours l'astuce selon laquelle il ne peut y avoir deux fois la même valeur dans une ligne ni dans une colonne, on arrive à calculer   et   par simple élimination de cinq valeurs impossibles.

Surprise ! On vient de montrer avec une étonnante économie de calculs que le groupe n'est pas commutatif ; en effet   .

Le même truc des répétitions interdites permet de compléter le coin inférieur droit du tableau.

Dernier obstacle inattendu, alors que nous avions presque fini, avec la méthode, maintenant classique pour nous, de remplir les cases par élimination, cette méthode est insuffisante pour remplir les six misérables cases laissées blanches ! Il faut une nouvelle astuce pour passer cet obstacle. Concentrons-nous sur la case correspondant au produit   . Pour calculer ce produit, bidouillons un peu :   . Une nouvelle case est remplie :

Cette étape franchie, il est désormais très facile de finir de remplir la table en utilisant l'idée simple : pas plus d'une apparition par ligne ou par colonne.

On a donc obtenu la table complète de la loi de composition   sur   , en n'utilisant que des techniques élémentaires.

6. Sous-groupes

Maintenant que nous connaissons ce que nous avons pompeusement appelé les exemples fondamentaux, il reste à apprendre à tirer de ces exemples trop fondamentaux pour être vraiment utiles des exemples plus concrets.

Pour cela, introduisons une nouvelle notion.

Définition    Soit   un groupe. On dit qu'un sous-ensemble   de   est un sous-groupe de   lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :

(i) L'ensemble   n'est pas vide.

(ii) Pour tous   et   de   , le produit   est aussi dans   .

(iii) Pour tout   de   , l'inverse   de   est aussi dans   .

Avant de commenter ce que ça veut dire, donnons tout de suite une proposition très simple, et utile en pratique pour vérifier qu'un sous-ensemble d'un groupe est un sous-groupe.

Proposition    Soit   un groupe. Un sous-ensemble   de   est un sous-groupe de   si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

(i) L'ensemble   n'est pas vide.

(iv) Pour tous   et   de   , le produit   est aussi dans   .

Supposons que   est un sous-groupe de   , c'est-à-dire qu'il vérifie (i), (ii) et (iii). Il est alors clair que (i) est vérifiée.

Montrons que   vérifie (iv). Soit   et   deux éléments de   . En appliquant (iii) à   , on constate que   est aussi dans   , puis en appliquant (ii) à   et   que le produit   aussi. Cette partie de la preuve est déjà finie !

Supposons maintenant que   vérifie (i) et (iv). Vérifier (i) est bien sûr sans problème. Avant de montrer que   vérifie (ii) et (iii), montrons préalablement que   appartient à   , où   désigne l'élément neutre de   . En effet   n'étant pas vide, on peut prendre un élément   dans   , puis appliquer l'hypothèse (iv) à   et   pour conclure que   appartient à   .

Montrons maintenant que   vérifie (iii). Soit   un élément de   . Puisqu'on sait maintenant que   aussi est dans   , on peut appliquer (iv) à   et   pour obtenir   , c'est-à-dire   .

Montrons enfin que   vérifie (ii). Soit   et   deux éléments de   . Par la propriété (iii) appliquée à   ,   , puis par la propriété (iv) appliquée à   et   ,   , c'est-à-dire   .

Bien que le résultat qui suive soit très simple à démontrer, son importance lui fait mériter l'appellation de :

Théorème    Soit   un groupe et   un sous-groupe de   . La restriction à   de la loi de composition sur   fait de   un groupe.

Il ne faut pas manquer de vérifier la possibilité de restreindre la loi de composition initiale, application de   vers   à une loi de composition sur   , c'est-à-dire une application de   vers   . Comme on veut restreindre non seulement l'ensemble de départ mais aussi l'ensemble d'arrivée, on est dans la situation où il faut spécialement prendre garde. Mais la propriété (ii) de la définition des «sous-groupes»  assure précisément que la loi de composition de   envoie l'ensemble   dans   et que la restriction a donc bien un sens.

L'associativité de cette restriction est alors évidente. Dans la preuve de la proposition précédente, on a montré au passage que le neutre de   était élément de   . Il est alors évidemment neutre pour la loi de composition restreinte à   . Enfin la propriété (iii) garantit l'existence d'un symétrique pour chaque élément de   .

Voyons maintenant comment ce théorème permet de fabriquer plein de groupes nouveaux et intéressants.

Exemple   Soit   le groupe des bijections strictement croissantes de   vers   , muni de la composition. Montrer que   est un groupe.

(On rappellera, au cas où ce serait nécessaire, qu'une application   est dite strictement croissante lorsque pour tous   et   ,   entraîne   ).

La bonne idée est de montrer que   est un sous-groupe du groupe   . Lançons-nous.

La vérification de (i) est évidente : il est clair que l'application identique est une bijection strictement croissante de   sur   .

Passons à (ii). Soit   et   deux bijections strictement croissantes de   sur   . On sait déjà que   est une bijection ; montrons qu'elle est strictement croissante. Soit   et   deux réels avec   ; alors   (croissance de   ) puis   (croissance de   ). Ceci montre bien que   est strictement croissante.

Vérifions enfin (iii). Soit   une bijection strictement croissante de   vers   . Il est bien clair que   est bijective ; vérifions qu'elle est strictement croissante. Soit   et   deux réels avec   . On ne peut avoir   , car   est injective ; on ne peut avoir   , car   étant strictement croissante on en déduirait l'inégalité   , qui est fausse. Par élimination on a donc bien   .

Exemple    Soit   un sous-ensemble de   et   l'ensemble des isométries   de   sur   telles que   . On montrerait par le même genre de méthode que   est un groupe parce que c'est un sous-groupe de   . Dès que   sera un peu trop patatoïdal,   se réduira à   et sera donc peu intéressant, mais si   possède des symétries raisonnables, par exemple si   est un pentagone régulier, le groupe   méritera notre attention.

Le théorème de Lagrange est un résultat simple et élégant, proposé ici surtout pour le plaisir de faire une démonstration agréable.

Théorème   [de Lagrange] Soit   un groupe fini et   un sous-groupe de   . Alors le nombre d'éléments de   divise le nombre d'éléments de   .

Elle repose sur l'introduction de la relation   définie pour tous éléments   de   par :   Le plan de la preuve est le suivant :

On vérifie que   , comme son nom le laisse penser, est une relation d'équivalence.

On vérifie que toutes les classes d'équivalence pour la relation   ont le même nombre d'éléments, à savoir le nombre d'éléments de   .

On conclut en quelques mots.

Exécution...

Étape 1. Vérifions successivement les trois propriétés requises des relations d'équivalence.

Soit   un élément de   . Comme   ,   . La relation   est donc réflexive.

Soit   et   deux éléments de   , avec   , donc   . En prenant l'inverse,   , c'est-à-dire   , soit   : la relation   est donc symétrique.

Soit   ,   et   trois éléments de   , avec   et   . On a donc   et   . En multipliant entre eux ces deux éléments de   , on obtient que   appartient à   , c'est-à-dire   , soit   . La relation   est donc transitive.

La relation   est donc une relation d'équivalence.

Étape 2. Soit   un élément fixé de   . L'objectif est de montrer que sa classe d'équivalence   possède le même nombre d'éléments que   . Pour ce faire, une bonne idée serait de montrer qu'il existe une bijection entre   et   . Et pour montrer qu'une bijection existe, une bonne idée pourrait être d'en sortir une de sa manche (en mathématiques, on dit «exhiber»), et voir qu'elle convient !

Introduisons donc l'application   définie par : pour tout   de   ,   Vérifions tout d'abord que   est bien une application. La difficulté vient ici de ce que la formule   possède certes un sens, mais qu'il faudrait savoir que   appartient bien à   . Heureusement, la question est plus facile à résoudre qu'à poser ! C'est en effet une simple vérification :   ; donc   ; en d'autres termes   appartient à   .

Vérifions que   est une bijection. Soit   un élément de   tel que   . Cherchons les antécédents de   . Un élément   de   est antécédent de   par   si et seulement si   , c'est-à-dire si et seulement si   . Il y a donc au plus un antécédent, à savoir   , et comme en outre   , l'élément   est dans   et il y a exactement un antécédent.

Ceci montre que   est une bijection, et   compte donc exactement autant d'éléments que   .

Étape 3. Il ne reste plus qu'à conclure. On dispose d'une relation d'équivalence   , donc d'un ensemble-quotient   , qui constitue une partition de   . Chacune des parties de   figurant dans cette partition possède exactement   éléments ; le nombre total d'éléments de   est donc égal au produit de   par le nombre de parties de   figurant dans la partition   et est en particulier un multiple de   .

7. Noyaux

Une petite définition, à l'usage pratique pour prouver des injectivités. Pour le reste, une section courte sans guère de commentaires.

Définition    Soit   un morphisme de groupes, allant d'un groupe   vers un groupe   , dont l'élément neutre est noté   . Le noyau de   est par définition l'ensemble des éléments   de   tels que   .

Notation    Le noyau de   est noté   (parce que   est l'abréviation de l'allemand «Kern»).

Le fait suivant est presque évident, mais on ne peut s'interdire de le souligner.

Proposition    Le noyau d'un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Soit   un morphisme d'un groupe noté   de neutre noté   vers un groupe noté   de neutre noté   .

On sait que   donc   , qui n'est donc pas vide.

Soit   et   deux éléments de   . On a alors   , donc   appartient à   .

Proposition    Soit   un morphisme de groupes, le neutre du groupe de départ étant noté   . L'application   est injective si et seulement si   .

Sans surprise, vérifions successivement les deux implications. On notera   le neutre du groupe d'arrivée.

Preuve de l'implication directe.

Supposons   injective. On sait déjà que   , et donc que   . Réciproquement, si   ,   , et comme   est injective,   . D'où l'égalité   .

Preuve de l'implication réciproque.

Supposons que   . Soit   et   deux éléments du groupe de départ vérifiant   . Alors   , donc   , donc   , donc   . Donc   est injective.

8. Puissances et ordre d'un élément d'un groupe

Rappelons une définition déjà utilisée en partie.

Définition    Soit   un élément d'un groupe et   un entier relatif. On appelle puissance   -ième de   l'élément   défini comme valant   (n fois) si   , comme valant l'inverse de   si   et comme valant l'élément neutre si   .

Définition équivalente (évitant l'emploi des trois petits points)  On définit par récurrence   pour tout entier   positif ou nul en posant   puis, pour tout   ,   , puis on définit directement   pour tout entier   négatif en posant   (puisque   est alors déjà défini).

Notation    L'ensemble des puissances de   est noté  

Proposition    Soit   un élément d'un groupe et   et   deux entiers ; alors   et   .

C'est très simple à voir avec des points de suspension, en n'oubliant pas de distinguer plein de cas selon les signes des divers entiers des formules, la définition dépendant de ce signe. Comme c'est à la fois très facile et très fastidieux, on va oublier discrètement de le faire.

On en déduit aussitôt la très élémentaire

Proposition    Soit   un groupe, et   un élément de   . L'ensemble   est un sous-groupe de   .

L'ensemble   n'est pas vide, puisqu'il contient   . Si   et   sont deux éléments de   , on peut trouver deux entiers (relatifs)   et   permettant d'écrire   et   . Dès lors   et donc   appartient à   .

Définition    Soit   un élément d'un groupe, dont le neutre est noté   . Si pour tout   ,   on dit que   est d'ordre infini. Sinon on appelle ordre de   le plus petit entier   tel que   .

Afin de tenter de prévenir les confusions, introduisons un autre sens du mot «ordre», pas du tout synonyme du précédent et un peu superflu mais tellement passé dans les usages qu'on ne peut l'éviter.

Définition    Soit   un groupe fini. L'ordre de   est son cardinal.

Histoire d'appliquer rétroactivement la division euclidienne, qui sera correctement définie dans le chapitre sur l'arithmétique, démontrons le

Théorème    Soit   un élément d'un groupe. L'ordre de   est égal au nombre d'éléments de   .

La preuve étant plus longue que la moyenne, essayons de dégager des étapes intermédiaires avec des énoncés précis, qui nous permettront de souffler quand ils seront atteints. On notera   l'élément neutre du groupe considéré.

Étape intermédiaire 1 : si l'ordre de   est fini, noté   ,   où on a posé  

Preuve de l'étape 1. Soit   un élément de   , c'est-à-dire une puissance de   . On peut donc mettre   sous forme   pour un entier relatif   . Effectuons la division euclidienne de   par   , ainsi   , avec   . On a alors   donc   appartient à   , ce qui montre l'inclusion   ; l'autre inclusion étant évidente, l'étape 1 est prouvée.

Étape intermédiaire 2 : si l'ordre de   est fini, le théorème est vrai.

Preuve de l'étape 2. Notons   l'ordre de   . Il découle du résultat de l'étape 1 que dans cette hypothèse l'ensemble   possède au plus   éléments. L'étudiant distrait croira même qu'on a déjà prouvé qu'il en possède exactement   et qu'on a donc fini, mais son condisciple plus observateur remarquera que nous ne savons pas encore si dans l'énumération   figurent bien   éléments  distincts.

Prouvons donc ce dernier fait ; supposons que dans cette énumération il y ait deux termes   et   qui représentent le même élément du groupe, avec pourtant   . On aurait alors   . Mais par ailleurs, comme   , on obtient   et donc   , et comme   et   , on obtient   . Mais ceci contredit la définition de   comme le plus petit entier supérieur ou égal à   tel que   . L'hypothèse était donc absurde, et l'énumération décrivant   à l'étape 1 est une énumération sans répétition.

Le nombre d'éléments de   est donc bien égal à   , et l'étape 1 est prouvée.

Étape intermédiaire 3 : si l'ordre de   est infini, le théorème est vrai.

Preuve de l'étape 3. Dans ce cas, tout le travail consiste à prouver que   est un ensemble infini. La vérification est du même esprit qu'à l'étape 2, en plus simple : on va prouver que pour   , les éléments   et   de   sont distincts. Pour ce faire, supposons que deux d'entre eux soient égaux ; on aurait alors   , avec pourtant   et   ne serait pas d'ordre infini. Ainsi l'étape 3 est prouvée.

Corollaire    L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.

Laissée au lecteur, en lui rappelant l'existence dans ce cours d'un théorème dit «de Lagrange» et en lui conseillant tout de même de bien distinguer entre ordre (cardinal) et ordre (d'un élément), comme déjà mentionné.

Histoire d'utiliser encore un peu la notion d'ordre, donnons un énoncé qui peut servir pour gagner du temps dans tel ou tel exercice très concret.

Proposition    Soit   un groupe fini et   un sous-ensemble de   . Alors   est un sous-groupe de   si et seulement si :

1. L'ensemble   n'est pas vide.

2. Pour tous   de   , le produit   est aussi dans   .

En d'autres termes, dans le cas particulier d'un sous-ensemble d'un groupe  fini (et seulement dans ce cas !) on peut faire des économies et éviter de travailler sur les ennuyeux symétriques pour examiner un potentiel sous-groupe.

Pour enfoncer le clou sur la nécessité de l'hypothèse selon laquelle   est fini, on pensera au cas   et   .

La seule difficulté est évidemment de vérifier la propriété (iii) de la définition des «sous-groupes». Prenons donc un élément   de   . On commence par traiter à part le cas stupide où   , et où il est clair qu'on a aussi   . Pour le cas sérieux où   , considérons le sous-groupe   de   . Ce sous-groupe est fini, puisqu'inclus dans   . On déduit donc du théorème précédent (en fait de sa partie la plus facile, l'étape 3 de sa preuve) que   est d'ordre fini. Notons   l'ordre de   ; comme   , on a l'inégalité   et donc   ; écrivons l'identité   , et revenons dans cette formule à la définition de   : on obtient   comme produit d'un nombre positif d'exemplaires de   ; par la propriété 2 de l'énoncé de la proposition, on en déduit que   .

9. Anneaux et corps

Il s'agit ici simplement de rajouter un peu de vocabulaire pour pouvoir décrire les propriétés que possèdent les ensembles de nombres usuels. Le chapitre se limitera donc à quelques définitions.

Définition    Soit   un ensemble muni de deux opérations, notées   et   . On dit que   est un anneau lorsque les assertions (i) à (iv) sont vraies.

(i) Pour l'addition,   est un groupe commutatif.

(ii) La multiplication est associative.

(iii) La multiplication possède un élément neutre.

(iv) La multiplication est distributive par rapport à l'addition ; en d'autres termes, pour tous   ,   et   éléments de   ,  

L'archétype de l'anneau est l'ensemble   des entiers relatifs ; dans un anneau quelconque on peut calculer «comme» dans   . Méfiance sur un seul point toutefois : la définition n'exigeant pas que la multiplication soit commutative, certaines formules peuvent être un peu plus perverses ; par exemple   se développe en   , mais ne peut pas dans un anneau trop général être regroupé en   puisque   n'a aucune raison d'être égal à   .

Voici un autre exemple.

Proposition   Soit   un espace vectoriel. L'ensemble des applications linéaires de   vers   , noté   , est un anneau pour l'addition et la composition.

Les propriétés d'«anneau» sont généralement évidentes à vérifier ; la plus intéressante est la distributivité, qui est liée à la linéarité, et que nous laissons gentiment au lecteur. Le neutre pour la composition est sans surprise l'application identique.

Si on choisit pour espace vectoriel   et que l'on représente les éléments de   par des matrices carrées, on obtient l'anneau   des matrices carrées de taille   à coefficients réels.

Définition    Soit   un anneau et   un entier. L'anneau des matrices carrées de taille   à coefficients dans   , noté   , est défini par les lois de composition suivantes. Si   et   sont deux éléments de   ,  

Le neutre de   pour l'addition est la matrice nulle, dont tous les coefficients valent le neutre de l'addition de   . Le neutre de   pour la multiplication est la matrice identité, dont tous les coefficients valent le neutre de l'addition de   sauf ceux de la diagonale qui valent le neutre de la multiplication de   .

Définition    Un anneau est dit commutatif quand sa multiplication est commutative.

Définition    Un anneau   est dit intègre lorsque :

(i) L'anneau   possède au moins deux éléments.

(ii) Pour tous   et   éléments non nuls de   ,   .

Une classe particulière d'anneaux est celle des anneaux tels que la deuxième loi (la multiplication) fournit aussi une structure de groupe (sur l'anneau privé de son zéro).

Définition    On dit qu'un anneau   est un corps commutatif lorsque :

(i) La multiplication est commutative.

(ii) L'anneau   possède au moins deux éléments.

(iii) Tout élément non nul de   possède un inverse pour la multiplication.

Les archétypes de corps commutatifs sont naturellement   , ensemble des fractions, et, encore mieux connus des étudiants,   et   . Un autre archétype, au moins aussi important malgré sa simplicité, est   pour   premier. Nous avons déjà défini l'addition sur   . On définit une multiplication   , en convenant que   est l'unique entier   tel que   est divisible par   . On démontre facilement que   est un anneau pour tout entier   , et que c'est un corps, si et seulement si   est premier. Ces corps servent entre autres en cryptographie. Le plus petit d'entre eux,   , peut être considéré comme la base de toute l'informatique : excusez du peu !