Sommaire

1. Taux d'accroissement et dérivée

On considère une fonction   , de   dans   , définie sur un intervalle ouvert   . Soit   un point de   .

Définition  1 On appelle taux d'accroissement de   en   , la fonction   suivante.

Si   , la valeur de   est le rapport de l'accroissement de la fonction,   , à l'accroissement de la variable   . Sur le graphe de la fonction, c'est la pente de la droite passant par les points du graphe   et   . Cette droite s'appelle une sécante. Si   est un intervalle de temps et   désigne la position d'un point mobile au temps   ,   est la vitesse moyenne du mobile sur l'intervalle   (distance parcourue divisée par le temps de parcours).

Définition  2 On dit que   est dérivable en   si le taux d'accroissement   converge, quand   tend vers   . Si c'est le cas, sa limite est la dérivée de   en   et se note   .   La dérivée de   est la fonction   , qui à un point associe la dérivée de   en ce point, si elle existe.

Géométriquement, la valeur de la dérivée en   est la pente de la tangente en   à la courbe d'équation   (figure 1). Si   est la position d'un mobile à l'instant   ,   est sa vitesse instantanée à l'instant   .

Voici deux cas particuliers.

  Si   est constante, ses taux d'accroissements sont nuls, et donc sa dérivée en tout point est nulle.  

  Si   est linéaire, ses taux d'accroissements sont constants, et donc sa dérivée en tout point est constante.  

Il est souvent commode de se ramener à des limites en   , en écrivant :  

Voici une écriture équivalente.

Proposition  1 La fonction   admet   comme dérivée en   si et seulement si, au voisinage de   pour   :  

 Le taux d'accroissement   admet   pour limite en   si et seulement si :  

Par définition, ceci équivaut à dire que   est négligeable devant   , au voisinage de   :  

Définition  3 On dit que la fonction   admet un développement limité d'ordre 1 en   si :  

Dire que   admet un développement limité d'ordre   au voisinage de   , c'est donner une approximation : on affirme par là que, si   est petit,   peut être approché par la valeur de   en   ,   , plus un terme linéaire   . La différence entre   et cette approximation est négligeable devant   .

Si   est dérivable en   , elle est nécessairement continue en ce point.

Proposition  2 Si   est dérivable en   , alors   est continue en   .

 Écrivons le développement limité d'ordre   :   On en déduit   ce qui équivaut à :  

Voici un premier exemple.

Proposition  3 Soit   un entier fixé. La fonction   est dérivable en tout point   où elle est définie, et :  

 Si   la fonction est constante et sa dérivée est nulle. Supposons   . Écrivons le taux d'accroissement de   en   . Pour   :   La somme contient   termes, dont chacun tend vers   quand   tend vers   .

Considérons maintenant la fonction   , définie pour   . Son taux d'accroissement en   s'écrit :

La somme contient   termes, dont chacun tend vers   quand   tend vers   . Le taux d'accroissement a donc pour limite  

Prenons par exemple   et   . On obtient :   L'expression exacte est :   Si   est petit (pensez   ), la valeur approchée   est effectivement très proche de la valeur exacte   .

Il peut se faire que le taux d'accroissement admette seulement une limite unilatérale en   , auquel cas on parle de dérivée à gauche ou de dérivée à droite.

Définition  4 On dit que   est dérivable à gauche (respectivement : dérivable à droite) en   si le taux d'accroissement   admet une limite à gauche (respectivement : à droite) en   . Si c'est le cas, sa limite est la dérivée à gauche de   en   (respectivement : dérivée à droite de   en   ).

Considérons par exemple la fonction valeur absolue   . Son taux d'accroissement en   est :  

  La fonction   n'est donc pas dérivable en   , mais elle admet une dérivée à gauche égale à   , et une dérivée à droite égale à   .

Il se peut aussi que la fonction ne soit définie que sur un intervalle dont   est une borne, auquel cas, on ne peut espérer qu'une dérivée unilatérale. Considérons la fonction suivante.

Son taux d'accroissement en   est défini, pour   , par   et donc :   La fonction   admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en   , mais elles sont différentes :   n'est pas dérivable en   .

Considérons maintenant le taux d'accroissement en   . Pour   , il vaut :   et donc :   La fonction   n'admet pas de dérivée à gauche en   . Le fait que la limite du taux d'accroissement soit   se traduit par une tangente verticale à la courbe représentative (figure 2).

2. Opérations sur les dérivées

Les résultats de cette section sont à connaître par cœur : ils vous permettent de calculer les dérivées de toutes les fonctions que vous rencontrerez, à partir d'un petit nombre de dérivées usuelles.

Théorème  1 Soient   et   deux fonctions définies sur un intervalle   contenant   . On suppose que   et   sont dérivables en   . Alors :

   est dérivable en   , de dérivée  

   est dérivable en   , de dérivée   .

Comme cas particulier du point   , si   est une constante, la dérivée de   est   .  Par hypothèse,  

 Écrivons le taux d'accroissement de la somme.   Comme la limite de la somme est la somme des limites, le résultat s'ensuit.

 Écrivons le taux d'accroissement du produit.   Comme   est dérivable, elle est continue en   , donc   tend vers   quand   tend vers   . La limite d'un produit est le produit des limites, idem pour la somme. D'où le résultat.

Le théorème 1, combiné avec la proposition 3, entraîne en particulier que toute fonction polynôme est dérivable sur   .

Théorème  2 Soit   une fonction définie sur un intervalle ouvert   de   , dérivable en   . Soit   une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant   , dérivable en   . Alors la composée   est dérivable en   , de dérivée :  

 Par hypothèse, les taux d'accroissement de   en   et de   en   convergent :   Nous allons utiliser en plus les conséquences suivantes :

C1 :   est continue en   ,

C2 : si   alors   au voisinage de   ,

C3 : le taux d'accroissement de   est borné au voisinage de   .

L'idée consiste à écrire le taux d'accroissement de   en   comme un produit de deux taux :   avec :  

Évidemment,   n'est défini que si   . Mais si   , alors   .

Considérons d'abord le cas où   . Dans ce cas,   tend vers   , et comme conséquence de C1 et C3, il existe un intervalle   et une constante   telle que :   Donc   converge vers   .

Considérons maintenant le cas où   . Comme conséquence de C2,   est bien défini au voisinage de   . La convergence de   vers   découle de la dérivabilité de   et de la continuité de   (composition des limites).

D'après la proposition 3, appliquée à la fonction inverse   , celle-ci est dérivable en tout point   où elle est définie, et   .

On déduit du théorème 2 que si   est dérivable et ne s'annule pas en   , alors son inverse   est dérivable, de dérivée  

En combinant ceci avec la formule donnant la dérivée d'un produit, on obtient la dérivée d'un quotient.  

Attention à ne pas confondre l'inverse   avec la fonction réciproque   dans le cas où   est bijective.

Proposition  4 Soit   une bijection d'un intervalle ouvert   vers un intervalle ouvert   . Soit   un point de   et   . Si   est dérivable en   , de dérivée non nulle, alors la fonction réciproque   est dérivable en   , et :

 Pour tout point   de   , il existe un unique   tel que   . Écrivons le taux d'accroissement de   en   : pour tout   ,   Puisque   est continue en   ,   est continue en   , et donc  

Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d'admettre la dérivabilité des «briques de base» que sont les fonctions usuelles.

Toutes les fonctions usuelles sont dérivables en tout point d'un intervalle ouvert où elles sont définies.

Ceci concerne les fonctions polynômes, fractions rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la valeur absolue.

Voici un tableau récapitulatif des formules de dérivation à connaître par cœur.

Les dérivées suivantes doivent être connues.

La connaissance des dérivées usuelles, permet, en appliquant la définition def:derivee, de calculer des limites de taux d'accroissement. À titre d'exemple, nous donnons ci-dessous trois limites à connaître.

Théorème 3  Au voisinage de   ,   ,   et   sont équivalents à   .

 Les trois limites sont démontrées dans l'ordre.

 La dérivée de la fonction sinus en   est   . Son taux d'accroissement en   est :   D'où le résultat.

 La dérivée de la fonction exponentielle en   est   . Son taux d'accroissement en   est :   D'où le résultat.

 La dérivée de la fonction   en   est   . Son taux d'accroissement en   est :   D'où le résultat.

3. Dérivées successives

Etant donné un intervalle ouvert   , on dit que   est dérivable sur   , si elle est dérivable en tout point de   . Soit   une fonction dérivable sur   . Sa dérivée   peut être elle-même dérivable. On appelle alors dérivée seconde la dérivée de   , et on la note   . Cette fonction peut être elle-même dérivable, etc. Si   est   fois dérivable, on note   sa dérivée d'ordre   , ou dérivée   -ième. Par définition, la dérivée d'ordre   est la fonction elle-même.

Par exemple, si   est un entier fixé, et   est la fonction   ,   Vous rencontrerez souvent les notations suivantes, que nous n'utiliserons pas ici.

Définition 5  Soit   une fonction définie sur un intervalle   de   . On dit que   est de classe   sur   , ou encore   est   fois continûment dérivable, si elle admet une dérivée   -ième continue sur   .

On dit que   est de classe   sur   , si elle admet des dérivées successives de tout ordre (elles sont nécessairement continues puisque dérivables). Vous pouvez retenir que :

toutes les fonctions usuelles sont de classe   sur les intervalles ouverts où elles sont définies.

Ceci concerne les fonctions polynômes, fractions rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus.

La formule de Leibniz, très proche de la formule du binôme de Newton, exprime la dérivée   -ième d'un produit à d'aide des dérivées successives des composantes.

Proposition  5 Si   et   sont deux fonctions de   dans   ,   fois dérivables sur un intervalle   , alors le produit   est   fois dérivable sur   et :

 par récurrence sur   . Puisque par définition   , la formule est vraie pour   . Supposons qu'elle est vraie pour   . Si   et   sont dérivables   fois sur   , alors pour tout   , le produit   est dérivable et sa dérivée est :   D'après (leibniz),   est dérivable, comme combinaison linéaire de fonctions dérivables. Sa dérivée s'écrit :

Pour la dernière égalité, nous avons appliqué la formule du triangle de Pascal. La formule est vraie pour   , donc pour tout   , par récurrence.

À titre d'exemple, calculons la dérivée   -ième de   . Posons   et   . Alors :   et   Par application de 1,  

4. Théorème des accroissements finis

En un point où la dérivée d'une fonction s'annule, les accroissements de la fonction sont négligeables devant les accroissements de la variable. Souvent, c'est un point où les variations de la fonction changent de sens, donc un maximum ou un minimum.

Définition  6 Soit   une fonction de   dans   , définie sur un intervalle ouvert   . Soit   un point de   . On dit que   est un

  maximum local de   si  

  minimum local de   si  

Insistons sur l'adjectif local. Il suffit que la valeur de   en   soit la plus grande des valeurs prises par   sur un petit intervalle autour de   pour que   soit un maximum local. Cette valeur n'est pas nécessairement la plus grande prise par   sur tout son domaine de définition (voir le graphe de la figure 3).

Théorème  4 Soit   une fonction de   dans   , définie sur un intervalle ouvert   . Si   présente un extremum (maximum ou minimum) local en un point   de   , et si   est dérivable en   , alors   .

 Si   est un minimum local de   , alors c'est un maximum local de   : quitte à remplacer   par   , nous pouvons supposer que   est un maximum local.   Donc pour tout   dans l'intervalle   ,

  donc  

Pour tout   dans l'intervalle   ,

  donc  

D'où le résultat.

Reprenons l'exemple de la figure fig:tanhorver :   . La dérivée est :   Elle s'annule en   , et   admet effectivement un maximum en ce point. Mais savoir que   permet seulement d'affirmer que la tangente en ce point est horizontale. Il se pourrait que la dérivée en un point soit nulle sans que la fonction admette un extremum en ce point : par exemple la fonction   en   . D'autre part, une fonction peut présenter un extremum en   , sans être dérivable en ce point (par exemple la fonction   en   ).

Voici un autre exemple (figure 3). Soit   la fonction définie par :

Le taux d'accroissement de   en   est   , qui tend vers   . La dérivée de   en   est donc nulle. Pourtant, tout intervalle contenant   , contient aussi des valeurs positives, et des valeurs négatives (et aussi une infinité d'extrema locaux).

Nous allons appliquer le théorème 4, pour démontrer le théorème de Rolle.

Théorème    Soient   et   deux réels tels que   . Soit   une fonction de   dans   , continue sur   , dérivable sur   . Si   , alors la dérivée de   s'annule sur   .

 Une application continue sur intervalle fermé borné, atteint sa borne inférieure   et sa borne supérieure   : il existe   tels que pour tout   ,   Si   , l'application   est constante sur   , et sa dérivée est identiquement nulle. Si   , alors l'une au moins de ces deux valeurs est différente de   (et donc de   ). Si   , alors   est un minimum pour   , et donc   , d'après le théorème précédent. Si   , alors   est un maximum pour   , et donc   .

On en déduit le résultat le plus important de cette section, le théorème des accroissements finis.

Théorème  6 Soient   et   deux réels tels que   . Soit   une fonction de   dans   , continue sur   , dérivable sur   .

 Considérons la fonction   , qui à   associe   La fonction   est continue sur   , dérivable sur   . De plus, elle prend la même valeur en   et   :   D'après le théorème de Rolle, la dérivée de   s'annule en un point   de   .   D'où le résultat.

Graphiquement, le théorème des accroissements finis dit que la courbe représentative de   sur   possède au moins une tangente parallèle à la sécante passant par   et   (figure 5). Si   représente la position d'un mobile à l'instant   , le théorème des accroissements finis dit que en au moins un point, la vitesse instantanée doit être égale à la vitesse moyenne sur l'intervalle.

Le plus souvent en pratique, on ne sait rien de la valeur de   qui est telle que la tangente en   est parallèle à la sécante. Mais de son existence découlent des inégalités permettant d'obtenir des renseignements précis sur les accroissements de la fonction. Le théorème des accroissements finis permet aussi d'établir le lien entre le sens de variation de   et le signe de sa dérivée.

Proposition  6 Soit   un intervalle ouvert non vide, et   une fonction dérivable sur   . La fonction   est :

  croissante sur   si et seulement si   est positive ou nulle sur   ,

  décroissante sur   si et seulement si   est négative ou nulle sur   .

 La fonction   est croissante si et seulement si   est décroissante. Il suffit donc de démontrer le premier point. Si   est croissante, alors ses taux d'accroissement sont tous positifs ou nuls :   Comme la dérivée en chaque point est limite de taux d'accroissement, elle est aussi positive ou nulle.

Réciproquement, soient   et   deux points de   tels que   . Appliquons le théorème des accroissements finis à   sur l'intervalle   : il existe   tel que :   Donc   .

Ce résultat n'est valable que sur un intervalle : la fonction   a une dérivée négative sur   , pourtant elle n'est pas décroissante. D'autre part, si la dérivée est strictement positive, alors la fonction est strictement croissante. La réciproque est fausse. La fonction peut être strictement croissante même si la dérivée s'annule en certains points (par exemple   ).

Comme autre application du théorème des accroissements finis, il est possible d'obtenir la dérivée en un point comme prolongement par continuité de la dérivée calculée sur un intervalle.

Proposition 7  Soient   et   deux réels tels que   . Soit   une fonction de   dans   , continue sur l'intervalle   , dérivable sur   . Si   admet une limite finie en   , alors   est dérivable à droite en   et :

 Soit   . Appliquons le théorème des accroissements finis sur l'intervalle   . Il existe   tel que   Soit   la limite à droite de   en   . Pour tout   , il existe   tel que   Donc pour   ,   D'où le résultat.

Ce résultat n'est qu'une condition suffisante. Il peut se faire que la dérivée existe sans qu'elle soit continue. Par exemple la fonction   a une dérivée nulle en   (figure 3). Pourtant sa dérivée en   ,   , n'a pas de limite en   .

5. Fonctions convexes

Définition 7  Soit   une fonction de   dans   , définie sur un intervalle   contenant au moins deux points. On dit que   est convexe sur   si et seulement si :

        (2)

Si   , et   , alors   est un point de l'intervalle   . La condition   dit que le point de la courbe représentative d'abscisse   doit être situé au-dessous du segment de sécante joignant les points   et   (figure 6). En d'autres termes, tout arc de la courbe représentative doit être situé au-dessous de sa corde. De manière équivalente, la partie du plan située au-dessus de la courbe représentative est une région convexe, au sens où tout segment joignant deux de ses points est entièrement contenu dans la région.

Une fonction est dite concave si son opposée est convexe. Les propriétés sont inversées : tout arc est au-dessus de sa corde. La région du plan située au-dessous de la courbe représentative est convexe.

La fonction exponentielle est convexe, la fonction logarithme est concave. La fonction   est convexe sur   pour   , elle est concave pour   . La fonction   est convexe sur   , concave sur   , de même que la fonction   .

Voici une autre caractérisation de la convexité.

Proposition 8  prop:caracconvexe Soit   une fonction de   dans   , définie sur un intervalle   contenant au moins deux points. La fonction   est convexe sur   si et seulement si, pour tout   le taux d'accroissement   est une fonction croissante de   sur   .

 Commmençons par la condition nécessaire. Soit   et   tels que   . Trois cas sont possibles :   ,   ,   . Nous traitons le premier, les deux autres sont analogues. Soit   . Alors   . Comme   est convexe,   On en déduit :   soit :   Montrons maintenant la condition suffisante. Soient   et   deux points de   tels que   et   un réel dans   . Posons   , et donc :   Si   ou   , l'inégalité est vérifiée. Nous pouvons donc supposer que   est différent de   et   . Écrivons que le taux d'accroissement en   est croissant.   En multipliant les deux membres par le produit   , qui est positif, on obtient :   En divisant par   ceci donne :  

Corollaire  1 Si une fonction   est convexe sur un intervalle ouvert   , alors elle est dérivable à gauche et à droite en tout point de   , et donc continue sur   .

 Si   , le taux d'accroissement en   ,   , est une fonction croissante de   . Il admet donc en   une limite à gauche et une limite à droite finies.

Ce résultat n'est pas valable si l'intervalle n'est pas ouvert. Par exemple la fonction qui vaut   sur   , et   au point   est convexe sur   , mais elle n'est pas continue en   . Le fait qu'une dérivée à gauche et à droite existe, n'implique pas que la fonction soit dérivable. Par exemple, la fonction valeur absolue   est convexe sur   mais elle n'est pas dérivable en   . Lorsque la fonction est dérivable, sa dérivée est croissante.

Proposition  9 Soit   une fonction de   dans   , dérivable sur un intervalle ouvert   . La fonction   est convexe sur   si et seulement si sa dérivée   est croissante sur   .

 Commençons par la condition nécessaire. Soient   et   deux points de   , tels que   . Pour tout   ,   En faisant tendre   vers   , on en déduit :   De même, en faisant tendre   vers   ,   Donc   .

Montrons maintenant la condition suffisante. Soient   deux points de   tels que   ,   , et   . Appliquons le théorème des accroissements finis sur les deux intervalles   et   . Il existe   et   tels que :   La fonction   étant croissante, on a donc :   Comme nous l'avons déjà vu dans la démonstration de la proposition prop:caracconvexe, ceci entraîne  

Graphiquement, la pente de la tangente d'une fonction convexe est croissante. Dans la démonstration précédente, nous avons établi les inégalités :   On en déduit que pour   ,   Donc la courbe représentative de   reste au-dessus de ses tangentes (figure fig:convexe).

Corollaire  2 Soit   une fonction de   dans   , deux fois dérivable sur un intervalle ouvert   . La fonction   est convexe sur   si et seulement si sa dérivée seconde   est positive ou nulle sur   .

Une fonction deux fois dérivable est concave si et seulement si sa dérivée seconde est négative ou nulle. Les points où la dérivée seconde s'annule et change de signe correspondent graphiquement à des points où la courbe représentative passe de concave à convexe où inversement. On les appelle des points d'inflexion.