Les limites étudiées dans cette section permettent de comparer exponentielles, logarithmes et puissances de . Vous connaissez certainement déjà le comportement de ces fonctions au voisinage de et de .
Vous connaissez sans doute aussi le résultat suivant.
Proposition 4 Soit un réel strictement positif.
Posons . La fonction est décroissante, donc elle admet une limite en . Pour identifier cette limite, il suffit de trouver la limite de la suite , où est une suite particulière tendant vers . Pour tout , posons . Comme et sont positifs, tend vers . On a , qui tend vers quand tend vers l'infini.
Proposition 5 Soient et deux réels strictement positifs.
Posons . L'étude des variations de la fonction sur , montre qu'elle est croissante sur , décroissante sur . Comme elle est minorée par , elle admet une limite en . Comme sur , la limite de en est positive ou nulle. Il nous reste à montrer qu'elle est nulle. Pour cela observons que ce que nous avons dit de reste vrai si on remplace par : la fonction qui à associe admet un maximum en . On a donc : Or tend vers quand tend vers (proposition 4). D'où le résultat.
Ce résultat peut paraître paradoxal : si , croît très vite ( ), et si , décroît lentement ( ). Pourtant, c'est l'exponentielle qui finit par l'emporter et la limite en est nulle.
On retiendra que : l'exponentielle l'emporte sur les puissances de ,
les puissances de l'emportent sur le logarithme.
C'est un moyen mnémotechnique de lever des indéterminations du type dans les calculs de limite : si l'un des facteurs «l'emporte» sur l'autre, c'est lui qui dicte la limite. Par exemple, dans la proposition proplimab, la limite de est la même que celle de , bien que tende vers . Nous rassemblons dans la proposition ci-après quelques exemples de limites du même type que celle de la proposition proplimab. Toutes s'en déduisent par des changements de variables : c'est un exercice facile que nous vous conseillons.
Proposition 6 Soient et deux réels strictement positifs.