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Niveau bac+1 sciences, cours et QCM : structures algébriques, nombres réels, suites, limites, dérivées, etc.

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Limites et continuité

Bernard Ycart

Licence CC-BY

Origine : M@ths en ligne - Université Joseph Fourier

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Mots-clés: convergence, limite, opération, comparaison, continuité

Sommaire

1. Vocabulaire

2. Convergence

3. Opérations sur les limites

4. Limites unilatérales

5. Convergence des fonctions monotones

6. Comparaison de fonctions

7. Limites à connaître

8. Continuité en un point

9. Continuité sur un intervalle

Sommaire

1. Vocabulaire

Une fonction de dans est définie par son graphe : c'est un sous-ensemble de , tel que pour tout , au plus un réel vérifie . S'il existe, ce réel est l'image de et est noté . L'ensemble des qui ont une image par est le domaine de définition de . Nous le noterons . La notation standard est la suivante :

Si est un sous-ensemble de , l'image de , notée , est l'ensemble des images des éléments de .

Si est un sous-ensemble de , l'image réciproque de , notée , est l'ensemble des antécédents des éléments de .

$f^-1(B)={x∈D_f,f(x)∈B}$

Attention à la notation : est défini même si n'est pas bijective. Par exemple, si est l'application valeur absolue, ,

Définition 1 Soit une fonction, de domaine de définition , à valeurs dans . On dit que est :

constante si

croissante si

décroissante si

strictement croissante si

strictement décroissante si

monotone si elle est croissante ou décroissante

majorée si est majoré

minorée si est minoré

bornée si est borné

Le plus souvent, ces définitions s'appliqueront à des restrictions de à un intervalle inclus dans .

Définition 2 Soit une fonction de dans et . Soit une des propriétés de la définition def:vocabfonction. On dit que possède la propriété

au voisinage de s'il existe un intervalle ouvert contenant , tel que la restriction de à possède la propriété .

au voisinage de s'il existe un réel tel que la restriction de à possède la propriété .

Par exemple, la fonction valeur absolue , est :

décroissante au voisinage de

croissante au voisinage de

bornée au voisinage de

Les opérations sur les réels s'étendent aux fonctions de manière naturelle.

addition :

multiplication :

multiplication par un réel :

comparaison :

L'addition a les mêmes propriétés que celle des réels : l'ensemble des fonctions de dans muni de l'addition est un groupe commutatif. Muni de l'addition et de la multiplication par un réel, c'est un espace vectoriel. Cependant, le produit de deux fonctions peut être nul sans que les deux fonctions le soient.

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2. Convergence

Nous commençons par la convergence en un point, vers une limite finie. Afin d'éviter les cas pathologiques, nous supposerons toujours que les fonctions étudiées sont définies au voisinage du point considéré (cf. définition 2).

Définition 3 Soit un réel et une fonction définie au voisinage de , sauf peut-être en , et à valeurs dans . Soit un réel. On dit que tend vers quand tend vers , ou que a pour limite en si

On notera :

ou bien

Tout intervalle centré en contient toutes les valeurs , pour suffisamment proche de . Observez que peut très bien ne pas être définie en , et admettre quand même une limite en . Voici un premier exemple (figure 1).

Pour tout , . Donc si et , alors :

Figure 1 - Graphe de la fonction

tend vers quand tend vers .

La convergence peut se caractériser en termes de suites.

Théorème Soit un réel et une fonction définie au voisinage de , sauf peut-être en , et à valeurs dans . Soit un réel. La fonction tend vers quand tend vers , si et seulement si, pour toute suite , à valeurs dans $D_f∩{a}$ et convergeant vers , la suite converge vers .

Montrons d'abord la condition nécessaire : si tend vers au sens de la définition 3, alors pour toute suite convergeant vers , la suite tend vers .

Soit , et tel que si , alors . Soit une suite de $D_f∩{a}$ convergeant vers . Il existe tel que pour tout , . Mais entraîne , par hypothèse. Donc la suite converge vers .

Voici maintenant la condition suffisante, dont nous allons démontrer la contraposée : si ne tend pas vers , alors il existe une suite convergeant vers telle que la suite ne tend pas vers . Ecrivons donc que ne tend pas vers .

Posons :

Notons un des réels dont l'existence est affirmée ci-dessus. La suite converge vers car , pourtant la suite ne tend pas vers , car .

Voici deux conséquences faciles de la définition.

Proposition 1 Soit une fonction de dans et un réel.

Si converge quand tend vers , alors la limite est unique.

Si et si converge vers quand tend vers , alors est bornée au voisinage de .

Supposons que vérifie la définition def:cvfonctionfinie pour deux réels et distincts. Posons . Alors les intervalles et sont disjoints. Pour suffisamment proche de , le réel devrait appartenir aux deux intervalles à la fois : c'est impossible.

Fixons , et tel que reste dans l'intervalle pour tout . Alors : et Donc est majorée et minorée au voisinage de .

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3. Opérations sur les limites

La notion de limite se combine avec les opérations sur les fonctions comme on l'attend. Nous énoncerons les résultats dans le théorème th:operationslimitesfonctions. Ils peuvent se déduire des résultats analogues sur les suites numériques, via le théorème th:cvepssuite. Nous conseillons au lecteur de le vérifier, puis de comparer cette approche avec les démonstrations directes qui suivent. Elles sont basées sur le lemme suivant.

Lemme 1 Soit un réel. Soient et deux fonctions de dans , définies au voisinage de , sauf peut-être en .

Si alors

Si est bornée au voisinage de et alors

Fixons . Soit tel que pour , . De même, soit tel que pour , . Alors, pour $0<|x-a|≤min{η_1,η_2}$ , d'où le résultat.

Soit et deux réels tels que Fixons . Soit tel que pour , . Alors, pour $0<|x-a|≤min{η_1,η_2}$ , d'où le résultat.

Théorème 2 Soit un réel. Soient et deux fonctions de dans , définies sur un intervalle ouvert autour de .

Si alors

Pour nous ramener au lemme 1, observons d'abord que tend vers quand tend vers , si et seulement si tend vers .

Quand tend vers , tend vers et tend vers , donc et tendent vers . Donc tend vers d'après le point 1. du lemme lem:operationslimitesfonctions. D'où le résultat.

Nous voulons montrer que tend vers . Ecrivons : Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions et tendent vers , d'après le premier point du lemme 1. Mais chacune de ces deux fonctions est le produit d'une fonction convergeant vers par une fonction bornée au voisinage de ( est bornée au voisinage de car elle converge). D'où le résultat, par le point 2. du lemme 1.

Si une application est constante, sa limite en tout point est égale à cette constante. Comme cas particulier du théorème 2, si tend vers quand tend vers , et est un réel quelconque, alors la limite en de est .

Le résultat attendu sur la composition des limites se vérifie, à un détail près.

Théorème 3 Soient et deux réels. Soit et deux fonctions définies respectivement au voisinage de et au voisinage de , étant définie en .

On suppose : Alors

Soit un réel strictement positif. Il existe tel que

Il existe tel que Donc :

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4. Limites unilatérales

Une fonction peut converger vers une limite finie, comme nous l'avons vu précédemment, ou bien ou . De plus les valeurs de la variable, qui approchaient des deux côtés dans les définitions précédentes, peuvent ne l'approcher que d'un seul côté : ce sont les notions de limite à gauche, et de limite à droite. On peut aussi chercher une limite quand tend vers et . Au total, ce ne sont pas moins de définitions différentes que nous devons donner. Vous reconnaîtrez dans ces définitions un principe général : tend vers (fini ou infini) quand tend vers (fini ou infini), si pour tout voisinage de , il existe un voisinage de tel que $f(V_a∩{a})⊂V_l$ . La définition précise de la notion de voisinage relève de la topologie, et dépasse le cadre de ce cours. Un voisinage de sera compris comme un intervalle de la forme . De même, un voisinage de sera un intervalle de la forme . Un «voisinage à gauche» d'un réel sera un intervalle du type , tandis qu'un «voisinage à droite» sera de la forme . Nous donnons les différentes définitions sous forme de tableaux. Plutôt que d'apprendre les 5 tableaux par cœur, il est conseillé d'en comprendre le principe pour être capable de retrouver ces définitions en cas de besoin.

La limite bilatérale des sections précédentes peut se caractériser en termes de limites à gauche et à droite.

Proposition 2 Soit une fonction de dans et un réel. La fonction admet pour limite en , si et seulement si elle admet pour limite à gauche et à droite en .

Nous le démontrons pour une limite finie. Ce qui suit est facile à adapter à une limite infinie. La condition nécessaire est évidente au vu des définitions. Pour la condition suffisante, supposons

Fixons . Il existe et tels que

Prenons $η= min {η_1,η_2}$ , alors

Voici maintenant les définitions des limites en et .

Pour chacune de ces définitions, il existe une caractérisation en termes de suites, analogue au théorème 1. Par exemple, la limite à gauche de en vaut si et seulement si pour toute suite convergeant vers et telle que pour tout , , la suite tend vers . Nous laissons au lecteur le soin de démontrer, à titre d'exercice, chacune de ces caractérisations, sur le modèle du théorème 1.

En ce qui concerne les opérations, le théorème 2 s'étend aux limites à gauche, à droite, en et en , sans aucune difficulté. Les seuls problèmes viennent des limites éventuellement infinies. Dans le cas où les limites de et peuvent être infinies, différentes situations peuvent se produire pour la somme et le produit. Nous les résumons dans les tableaux 1 et 2. Dans ces deux tableaux, désigne indifféremment une limite bilatérale, à gauche, à droite, en ou en (du même type pour et ). Les points d'interrogations sont des formes indéterminées : tous les cas sont possibles. Par exemple :

, : tend vers quand tend vers .

, : n'a pas de limite en .

$( limite f(x)\) limite g...$

Limites possibles de en fonction des limites de et .

$( limite f(x)\) limite g...$

Limites possibles de en fonction des limites de et .

Mises à part les formes indéterminées, chacune des cases des tableaux 1 et 2 résume 5 théorèmes : un pour chacun des différents types de limites. Il est conseillé au lecteur de les démontrer, soit directement sur le modèle du théorème 2, soit en utilisant la caractérisation par les suites évoquée plus haut.

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5. Convergence des fonctions monotones

Comme pour les suites, «la monotonie entraîne l'existence de limites».

Théorème 4 Soit un intervalle ouvert, et une fonction croissante sur . Les limites de à droite en et à gauche en existent et :

Supposons d'abord que est minorée : est une partie minorée de , elle admet donc une borne inférieure finie, notons-la . Soit un réel positif fixé. Par définition de la borne inférieure, il existe tel que . Mais alors, puisque est croissante, Donc admet pour limite à droite en . Si n'est pas minorée, pour tout , il existe , tel que . Puisque est croissante : Donc la limite à droite de en est .

Pour la limite à gauche en , on procède de manière analogue, en distinguant le cas où est majorée, du cas où elle ne l'est pas.

L'énoncé du théorème 4, reste vrai si , ou . Evidemment, le même résultat vaut pour une fonction décroissante, en inversant le rôle de et . On retiendra que

toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point de cet intervalle.

La limite à gauche peut très bien ne pas être égale à la limite à droite. Par exemple, la fonction «partie entière» est croissante sur , et pour tout ,

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6. Comparaison de fonctions

Dans cette section, est un réel quelconque, et nous considérons la limite (bilatérale) d'une fonction en , au sens de la définition 3. Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de , sauf peut-être en .

Tous les résultats de la section valent aussi pour des limites à gauche, à droite, en et en . L'adaptation des démonstrations aux autres types de limite est un exercice conseillé.

Le résultat de base pour comparer deux limites est le suivant.

Théorème 5 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant . Si pour tout , , alors

Supposons . Alors la limite en de la fonction est strictement positive. Notons cette limite. Il existe tel que entraîne , donc , ce qui contredit l'hypothèse.

Le fait de supposer ne renforce pas la conclusion : bien que pour tout ,

Le théorème 5 ne permet pas de démontrer que l'une des deux fonctions ou converge en . Pour cela, on utilise souvent le résultat suivant.

Théorème 6 Soient et deux fonctions telles que tend vers quand tend vers . S'il existe un intervalle ouvert contenant tel que pour tout , , alors tend vers en .

Pour tout , il existe tel que pour : d'où le résultat.

On en déduit le corollaire suivant.

Corollaire 1 Soient , et trois fonctions telles que quand tend vers , et convergent vers la même limite . Supposons de plus qu'il existe un intervalle ouvert contenant , tel que pour tout , alors converge vers .

Il suffit d'appliquer le théorème th:limite0fonction aux deux fonctions et .

Soit par exemple

Posons , . Les deux fonctions et tendent vers en , et pour tout , Donc tend vers quand tend vers , comme et (cf. figure fig:xsin1).

La comparaison vaut aussi pour les limites infinies.

Théorème 7 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant . Supposons que, pour tout , .

Pour tout , il existe tel que pour : donc tend vers si tend vers . La démonstration de l'autre affirmation est analogue.

Le vocabulaire de la comparaison des fonctions est analogue à celui des suites, avec la difficulté supplémentaire qu'il faut toujours savoir de quelle limite il s'agit (bilatérale, à gauche, à droite, en ou en ). Nous écrivons la définition ci-dessous pour des limites bilatérales en , elle s'adapte sans problème aux 4 autres types de limites.

Définition 4 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant .

On dit que la fonction est dominée par la fonction au voisinage de si : On écrit , qui se lit « est un grand O de » (au voisinage de ).

On dit que la fonction est négligeable devant la fonction si : On écrit , qui se lit « est un petit o de » (au voisinage de ).

On dit que la fonction est équivalente à la fonction si : On écrit , qui se lit « est équivalent à » (au voisinage de ).

Très souvent, on appliquera ces définitions pour une fonction non nulle au voisinage de , sauf peut-être en ; dans ce cas, la comparaison se lit sur le rapport .

Proposition 3 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant . On suppose que la fonction ne s'annule pas sur

est dominée par au voisinage de si et seulement si le quotient est borné :

est négligeable devant si et seulement si le quotient tend vers :

est équivalente à si et seulement si le quotient tend vers :

Par exemple, au voisinage de :

Au voisinage de :

Insistons sur la nécessité de bien préciser le type de limite que l'on considère. Le plus souvent, il s'agira de limites en ou de limites à droite en . On passe des unes aux autres en remplaçant la variable par . Pour étudier une limite en , on se ramène à une limite en en posant . Le changement de variable permet de passer des limites à gauche aux limites à droite, des limites en aux limites en .

Observons que entraîne , ce qui est particulièrement utile pour les polynômes. Les équivalents sont souvent utilisés pour le calcul de limites de produits ou de quotients, car si , et alors . Par contre il ne faut pas les utiliser pour des sommes. Par exemple, au voisinage de : Pourtant, n'est pas équivalent à .

Soit la fonction définie sur par :

Commençons par les limites à droite en . Le numérateur tend vers en . Pour le dénominateur , donc :

Considérons maintenant les limites en . Puisque , et . Pour le dénominateur, , donc tend vers .

Nous admettrons pour l'instant les équivalents suivants au voisinage de , qui seront justifiés plus loin. Vous devez les connaître par cœur.

Théorème 8 Au voisinage de , , et sont équivalents à .

Nous rassemblons dans la section suivante d'autres limites classiques concernant l'exponentielle et le logarithme, qu'il est également bon de connaître.

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7. Limites à connaître

Les limites étudiées dans cette section permettent de comparer exponentielles, logarithmes et puissances de . Vous connaissez certainement déjà le comportement de ces fonctions au voisinage de et de .

Vous connaissez sans doute aussi le résultat suivant.

Proposition 4 Soit un réel strictement positif.

Posons . La fonction est décroissante, donc elle admet une limite en . Pour identifier cette limite, il suffit de trouver la limite de la suite , où est une suite particulière tendant vers . Pour tout , posons . Comme et sont positifs, tend vers . On a , qui tend vers quand tend vers l'infini.

Proposition 5 Soient et deux réels strictement positifs.

Posons . L'étude des variations de la fonction sur , montre qu'elle est croissante sur , décroissante sur . Comme elle est minorée par , elle admet une limite en . Comme sur , la limite de en est positive ou nulle. Il nous reste à montrer qu'elle est nulle. Pour cela observons que ce que nous avons dit de reste vrai si on remplace par : la fonction qui à associe admet un maximum en . On a donc : Or tend vers quand tend vers (proposition 4). D'où le résultat.

Ce résultat peut paraître paradoxal : si , croît très vite ( ), et si , décroît lentement ( ). Pourtant, c'est l'exponentielle qui finit par l'emporter et la limite en est nulle.

On retiendra que : l'exponentielle l'emporte sur les puissances de ,

les puissances de l'emportent sur le logarithme.

C'est un moyen mnémotechnique de lever des indéterminations du type dans les calculs de limite : si l'un des facteurs «l'emporte» sur l'autre, c'est lui qui dicte la limite. Par exemple, dans la proposition proplimab, la limite de est la même que celle de , bien que tende vers . Nous rassemblons dans la proposition ci-après quelques exemples de limites du même type que celle de la proposition proplimab. Toutes s'en déduisent par des changements de variables : c'est un exercice facile que nous vous conseillons.

Proposition 6 Soient et deux réels strictement positifs.

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8. Continuité en un point

Une fonction est continue en quand elle admet comme limite en .

Définition 5 Soit un réel et une fonction définie au voisinage de . On dit que est :

continue en si soit :

continue à gauche en si soit :

continue à droite en si soit :

Par exemple la fonction partie entière est continue en si n'est pas un entier. Elle est continue à droite (mais pas à gauche) en si est entier : voir figure 2.

On déduit du théorème th:cvepssuite une caractérisation de la continuité en termes de suites.

Théorème 9 La fonction est continue en , si et seulement si pour toute suite de réels telle que et convergeant vers , la suite converge vers .

Observons que si une fonction est continue en un point, elle est nécessairement définie en ce point. Nous avons vu qu'une fonction pouvait admettre une limite en , sans être définie en . Si c'est le cas, on appelle prolongement par continuité de en , la fonction , définie sur $D_f∪{a}$ , et telle que

Par exemple,

Cette fonction peut être prolongée par continuité en :

Des théorèmes 2 et 3, on déduit que la somme, le produit, la composée de deux fonctions continues sont continues.

Théorème 10 Soient et deux fonctions. Soit un réel.

Si et sont continues en , alors et sont continues en .

Si est continue en et est continue en , alors est continue en .

Ce théorème permet de démontrer la continuité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d'admettre la continuité des «briques de base» que sont les fonctions usuelles.

Toutes les fonctions usuelles sont continues en tout point où elles sont définies Ceci concerne les fonctions puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la partie entière et la partie décimale.

À titre d'exemple, nous allons le démontrer pour la fonction .

Proposition 7 La fonction qui à associe est continue en tout point de .

Soit un réel non nul. Soit . Notons Si , alors . Donc : Donc, entraîne .

Les fonctions constantes, ainsi que la fonction identité sont évidemment continues en tout point de . Du théorème 10, on déduit qu'il en est de même pour les fonctions polynômes. En utilisant la proposition 7, on obtient que toute fraction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) est continue en tout point où son dénominateur ne s'annule pas.

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9. Continuité sur un intervalle

Définition 6 Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert non vide de . On dit que est continue sur si est continue en tout point de

Cette définition comporte une petite ambiguïté pour les intervalles qui ne sont pas ouverts. Nous conviendrons qu'une fonction continue sur est continue en tout point de et que de plus, elle est continue à droite en et à gauche en .

Le résultat important de cette section est le théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème 11 Soit un intervalle de et une fonction continue sur . Soit

Si , alors, pour tout réel tel que , il existe tel que .

La figure 3 illustre le théorème des valeurs intermédiaires. Le résultat est tout à fait intuitif : si une fonction continue prend deux valeurs distinctes sur un intervalle, elle prend nécessairement toutes les valeurs entre ces deux-là : le graphe d'une fonction continue n'a pas de saut vertical.

Par définition de la borne inférieure, et de la borne supérieure, il existe tels que Quitte à remplacer par , nous pouvons supposer sans perte de généralité que . Soit l'ensemble des tels que . L'ensemble est non vide (il contient ), et majoré par . Donc il admet une borne supérieure finie. Soit cette borne supérieure. $c= sup {x∈[x_0,x_1],f(x)...$ Nous allons démontrer que , en utilisant la continuité de . Soit . Puisque est continue en , il existe tel que implique . Or par définition de la borne supérieure, il existe tel que . Fixons un tel . Puisque et , alors nécessairement .

Par définition de la borne supérieure, est le plus petit des majorants de . Fixons maintenant tel que . Alors , donc , et . On en déduit que .

Nous avons donc démontré que pour tout , ce qui entraîne .

Les deux résultats suivants sont des formulations équivalentes du théorème des valeurs intermédiaires.

Corollaire 2

Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des valeurs négatives, alors elle s'annule sur cet intervalle.

L'image par une application continue d'un intervalle est un intervalle.

Il est naturel de se demander si l'image par une application continue d'un intervalle est un intervalle du même type (infini, ouvert...). Le seul résultat général concerne les intervalles fermés bornés.

Théorème 12 Soient deux réels et une fonction continue sur . Soit

Alors et sont finies et il existe , tels que et :

elle utilise le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui affirme que de toute suite , à valeurs dans l'intervalle , on peut extraire une sous-suite convergente. Nous traitons la borne supérieure , la démonstration est analogue pour . Supposons . Pour tout , il existe tel que . Donc la suite tend vers . De la suite , on peut extraire une sous-suite convergente. Soit la limite de cette sous-suite. Par la continuité de , les images des termes de la sous-suite convergent vers , ce qui contredit le fait que tend vers . Donc est finie.

Puisque la borne supérieure est finie, pour tout , il existe tel que Donc la suite converge vers . De la suite , on peut extraire une sous-suite, convergeant vers . En utilisant à nouveau la continuité, on en déduit que .

En général les bornes et sont différentes des valeurs de en et . Le cas des fonctions monotones est particulier. Vous avez sans doute déjà rencontré le résultat qui suit sous le nom de théorème de la bijection.

Théorème 13 Soit une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle .

est un intervalle, dont les bornes sont les limites de aux bornes de

est une bijection de vers

la bijection réciproque est continue sur et strictement monotone, de même sens que .

Quitte à remplacer par , nous pouvons supposer sans perte de généralité que est strictement croissante. Ceci entraîne que est injective. Supposons que soit l'intervalle ouvert , et étant éventuellement infinis. La démonstration s'adapte sans problème au cas où l'intervalle est fermé d'un côté ou des deux.

Observons que pour tout Posons Soit . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que . Donc , et comme est injective, c'est une bijection de vers . Pour tout , Donc la bijection réciproque est elle-aussi strictement croissante. Il reste à démontrer qu'elle est continue. Soit et . Soit tel que Posons et . Alors . Soit $η= min {y-y_1,y_2-y}$ . Pour tout tel que , on a , donc . D'où le résultat.

Si est bijective, à tout couple du graphe de , correspond le couple du graphe de : les deux graphes se déduisent l'un de l'autre par la transformation , qui est la symétrie par rapport à la première bissectrice (figure 4).